 Se Ana é rude, então Joaquim é otimista.

 Se Joaquim é otimista, então Ana é rude.

 Se Joaquim é otimista, então Ana não é rude.

 Se Joaquim não é otmista, então Ana não é rude.

 Se Ana não é rude, então Joaquim é otimista.

Analisaremos a equivalência lógica entre a sentença original e as alternativas fornecidas aplicando princípios de lógica proposicional.

Primeiramente, representamos a proposição original: "Joaquim não é otimista ou Ana é rude". Isso pode ser simbolizado logicamente por: 
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
 <mrow>
 <mrow>
 <mo>¬</mo>
 <mi>J</mi>
 </mrow>
 <mo>∨</mo>
 <mi>A</mi>
 </mrow>
</math>
onde <mi>J</mi> indica "Joaquim é otimista" e <mi>A</mi> representa "Ana é rude".

Analisemos cada alternativa:

<ul>
 <li>Alternativa A: "Se Ana é rude, então Joaquim é otimista." 
 Simbolizada por:
 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
 <mi>A</mi>
 <mo>→</mo>
 <mi>J</mi>
 </math> 
 Esta expressão, utilizando a equivalência implicativa, se torna 
 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
 <mo>¬</mo>
 <mi>A</mi>
 <mo>∨</mo>
 <mi>J</mi>
 </math>, o que difere da proposição original.
 </li>

 <li>Alternativa B: "Se Joaquim é otimista, então Ana é rude." 
 Simbolizada por:
 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
 <mi>J</mi>
 <mo>→</mo>
 <mi>A</mi>
 </math> 
 A equivalência lógica reescreve esta expressão como 
 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
 <mo>¬</mo>
 <mi>J</mi>
 <mo>∨</mo>
 <mi>A</mi>
 </math>, que é exatamente a proposição original.</li>

 <li>Alternativa C: "Se Joaquim é otimista, então Ana não é rude." 
 Simbolizada por:
 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
 <mi>J</mi>
 <mo>→</mo>
 <mi>¬</mi>
 <mi>A</mi>
 </math> 
 Esta equivalência implicativa produz 
 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
 <mo>¬</mo>
 <mi>J</mi>
 <mo>∨</mo>
 <mi>¬</mi>
 <mi>A</mi>
 </math>, claramente diferente da proposição original.
 </li>

 <li>Alternativa D: "Se Joaquim não é otimista, então Ana não é rude." 
 Indicada por:
 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
 <mi>¬</mi>
 <mi>J</mi>
 <mo>→</mo>
 <mi>¬</mi>
 <mi>A</mi>
 </math> 
 Que se traduz como 
 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
 <mo>¬</mo>
 <mi>¬</mi>
 <mi>J</mi>
 <mo>∨</mo>
 <mi>¬</mi>
 <mi>A</mi>
 </math>, o que não coincide com a lógica da proposição original.
 </li>

 <li>Alternativa E: "Se Ana não é rude, então Joaquim é otimista." 
 Representada por:
 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
 <mi>¬</mi>
 <mi>A</mi>
 <mo>→</mo>
 <mi>J</mi>
 </math> 
 Equivale a 
 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
 <mo>¬</mo>
 <mi>¬</mi>
 <mi>A</mi>
 <mo>∨</mo>
 <mi>J</mi>
 </math>, o que também é diferente da proposição original.
 </li>
</ul>

Portanto, a alternativa correta é B.

<html>
<head>
<style>
 math {
 font-size: 16px;
 }
 p, li {
 font-size: 14px;
 line-height: 1.6;
 }
</style>
</head>
<body>
O enunciado nos fornece duas premissas importantes que devem ser representadas e analisadas logicamente para responder à questão. Primeiramente, vamos determinar as proposições:

<ul>
<li>Algum policial é alto: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>∃x</mi><mo>(</mo><mi>P</mi><mi>x</mi><mo>∧</mo><mi>A</mi><mi>x</mi><mo>)</mo></math>, onde <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>Px</mi></math> significa "x é um policial" e <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>Ax</mi></math> significa "x é alto".</li>
<li>Todo policial é educado: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>∀x</mi><mo>(</mo><mi>P</mi><mi>x</mi><mo>→</mo><mi>E</mi><mi>x</mi><mo>)</mo></math>, onde <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>Ex</mi></math> significa "x é educado".</li>
</ul>

Com base nessas informações, vamos analisar as alternativas:

<ul>
<li>A) Todo policial educado é alto: Essa proposição é a negação da primeira, pois a existência de um policial alto não implica que todos sejam.</li>
<li>B) Algum policial alto não é educado: Isto não pode ser verdadeiro devido à segunda premissa que afirma que todos os policiais são educados.</li>
<li>C) Algum policial não educado é alto: Semelhante à alternativa B, contradiz a segunda premissa de que todos os policiais são educados.</li>
<li>D) Algum policial educado é alto: Essa afirmação pode ser verdadeira, pois sabemos que existe pelo menos um policial alto (primeira premissa) e todos os policiais são educados (segunda premissa).</li>
</ul>

Portanto, se existe um policial alto e todos os policiais são educados, existe pelo menos um policial que é educado e alto ao mesmo tempo. Isso valida a alternativa D:

A alternativa correta é D.
</body>
</html>

 Apenas a primeira e a terceira são verdadeiras.

Para resolver esta questão, primeiro analisemos a proposição inicial que é dada como verdadeira: "Todas as provas são difíceis". Com base nisso, vamos avaliar a veracidade das outras proposições listadas.

<ul>
<li>Proposição 1: "Algumas provas são difíceis".</li>
Se "Todas as provas são difíceis", então logicamente, "Algumas provas são difíceis" também é verdadeiro. A proposição "algumas" é um subconjunto de "todas", então se toda a coleção de objetos satisfaz uma propriedade, certamente pelo menos alguns destes objetos também a satisfazem.

<li>Proposição 2: "Nenhuma prova é difícil".</li>
Esta proposição é claramente falsa. Se a afirmação de que todas as provas são difíceis é verdadeira, então a afirmativa de que nenhuma prova é difícil contradiz diretamente essa informação.

<li>Proposição 3: "Algumas provas não são difíceis".</li>
Esta proposição também é falsa. Esta é a negação direta da proposição inicial. Se "todas as provas são difíceis", então não pode existir nenhuma prova que não seja difícil.
</ul>


Para esclarecer, considere as representações em lógica proposicional, usando <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>P</mi></math> como a proposição "uma prova é difícil":


<ul>
<li>Proposição 1 é verdadeira, representada por <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>∃</mi><mi>x</mi><mi>P</mi></math> (existe pelo menos um x tal que P é verdade).</li>
<li>Proposição 2 é falsa, pois contradiz <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>¬</mi><mi>∃</mi><mi>x</mi><mi>P</mi></math> (não existe x tal que P seja verdade, o que é falso).</li>
<li>Proposição 3 é falsa, equivalente a dizer <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>∃</mi><mi>x</mi><mi>¬</mi><mi>P</mi></math> (existe pelo menos um x para o qual P é falso, que é também uma contradição).</li>
</ul>

Portanto, com esta análise, podemos afirmar que a alternativa correta é D

Para resolver a questão proposta pelo Instituto de Estudos Superiores do Extremo Sul, precisamos analisar as proposições dadas e determinar qual alternativa está correta, baseando-se nos princípios de equivalência lógica e negação de proposições. As frases apresentadas são:


1. Algum policial é alto. 
2. Todo policial é educado.


Vamos analisar cada alternativa:

<ul>
<li>A) Algum policial não educado é alto. 
Esta alternativa é incorreta. Sabemos que "Todo policial é educado", inferindo a ausência de policiais não educados. Matematicamente, isso significa que não existe um elemento no conjunto dos policiais que não pertença também ao conjunto dos educados.</li>

<li>B) Algum policial educado é alto. 
Dado que todos os policiais são educados, e já que existe pelo menos um policial que é alto, então, definitivamente, existe pelo menos um policial que é tanto educado quanto alto. Esta é a lógica dedutiva que confirma a correção desta alternativa.</li>

<li>C) Todo policial educado é alto. 
Esta alternativa exagera a informação dada. A proposição original apenas menciona que "algum" policial é alto, não todos eles. Portanto, esta afirmação não é necessariamente verdadeira.</li>

<li>D) Algum policial alto não é educado. 
Assim como a alternativa A, esta é refutada pelo fato de que todos os policiais são educados. A negação deste conceito é logicamente inconsistente com as premissas fornecidas.</li>
</ul>

Cada uma das alternativas foi analisada considerando as relações lógicas entre os conjuntos dos policiais, dos educados e dos altos. Concluímos que, dado que todos policiais são educados e ao menos um deles é alto, então necessariamente, ao menos um policial educado é alto. Portanto, a alternativa correta é B.

A análise das proposições começará com a compreensão da afirmação original que é aceita como verdadeira: "Todas as provas são difíceis". Em termos lógicos, essa proposição pode ser representada da seguinte maneira:


<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
 <mrow>
 <mi>∀</mi>
 <mi>x</mi>
 <mo>:</mo>
 <mi>P</mi>
 <mo>(</mo>
 <mi>x</mi>
 <mo>)</mo>
 <mo>→</mo>
 <mi>D</mi>
 <mo>(</mo>
 <mi>x</mi>
 <mo>)</mo>
 </mrow>
</math>


Onde <mi>P(x)</mi> significa que "x é uma prova" e <mi>D(x)</mi> significa que "x é difícil". A afirmação lógica é uma implicação universal de que todas as ocorrências de provas são difíceis.

Análise das Alternativas:

1. Algumas provas são difíceis: 
Esta proposição é logicamente verdadeira se pelo menos uma prova é difícil. Mas, dado que "todas as provas são difíceis" é verdadeiro, então logicamente, esta proposição também é verdadeira, porque a existência de provas difíceis é garantida pela afirmação universal.

2. Nenhuma prova é difícil: 
Em termos lógicos, essa proposição seria representada por:
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
 <mi>∀</mi>
 <mi>x</mi>
 <mo>:</mo>
 <mi>P</mi>
 <mo>(</mo>
 <mi>x</mi>
 <mo>)</mo>
 <mo>→</mo>
 <mo>¬</mo>
 <mi>D</mi>
 <mo>(</mo>
 <mi>x</mi>
 <mo>)</mo>
</math>
, que é a negação direta da proposição original aceita como verdadeira. Portanto, esta é falsa.

3. Algumas provas não são difíceis: 
Essa proposição implica a existência de pelo menos uma prova que não é difícil. Isso contraria diretamente a proposição original de que "todas as provas são difíceis". Consequentemente, esta proposição é falsa.

Com base na análise acima:

<ul>
 <li>A primeira proposição "Algumas provas são difíceis" é verdadeira.</li>
 <li>A segunda proposição "Nenhuma prova é difícil" é falsa.</li>
 <li>A terceira proposição "Algumas provas não são difíceis" é falsa.</li>
</ul>

Portanto, a alternativa correta é C, que afirma que "Apenas a primeira é verdadeira".

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